Question

橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₂|=．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過點M（-2，1），交橢圓C于A，B兩點，且M恰是A，B中點，求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為點P在橢圓C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=，故橢圓的半焦距c=，從而b²=a²-c²=4，
所以橢圓C的方程為=1．（6分）
（Ⅱ）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．若直線l斜率不存在，顯然不合題意．
從而可設(shè)過點（-2，1）的直線l的方程為 y=k（x+2）+1，
代入橢圓C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．
因為A，B關(guān)于點M對稱，所以，解得k=，
所以直線l的方程為，即8x-9y+25=0．
經(jīng)檢驗，△＞0，所以所求直線方程符合題意． （14分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義，可得a的值，在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=，可得橢圓的半焦距c=，從而可求橢圓C的方程為=1；
（Ⅱ）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），設(shè)過點（-2，1）的直線l的方程為 y=k（x+2）+1，代入橢圓C的方程，利用A，B關(guān)于點M對稱，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，確定橢圓的方程，聯(lián)立方程是關(guān)鍵．