Question

【題目】數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，；數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足，.

（1）求，及數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）求.

Answer 1

【答案】（1），，，，，，（2），

【解析】

（1）方法一：（數(shù)列定義）易知，可得，故，；，，，則，，兩式相減得，則，，同理兩式相減得，，則為等差數(shù)列，故，.

（1）方法二：（數(shù)學(xué)歸納法）

同方法一，猜想，，然后再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（2）方法一：利用錯(cuò)位相減法求和，由（1）可知，，則，兩式相減整理得， ，.

（2）方法二：利用裂項(xiàng)求和，由（1）可知，注意到，再采用裂項(xiàng)相消法求和.

（1）方法一：（數(shù)列定義）

易知，解得或，又公比為正數(shù)，則，故，；，，，則，，兩式相減得，則，，同理兩式相減得，（注：，也符合），則為等差數(shù)列，故，.

（1）方法二：（數(shù)學(xué)歸納法）

易知，解得或，又公比為正數(shù)，則，故，；，，猜想，，用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)時(shí)，成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，

當(dāng)時(shí)，，則，即，故當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.由①②可知，對(duì)于任意的，均成立.

（2）方法一：（錯(cuò)位相減法求和）

由（1）可知，，

則，兩式相減整理得，

，.

（2）方法二：（裂項(xiàng)求和）

由（1）可知，注意到，

故，.