【題目】已知函數(shù)

(1)當時,求證:;

(2)討論函數(shù)在R上的零點個數(shù),并求出相對應的a的取值范圍.

【答案】1)證明見解析;(2時,函數(shù)上沒有零點;當時,函數(shù)上有一個零點;當時,函數(shù)上有兩個零點.

【解析】

1)構造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最小值,證明最小值大于.2)先利用導數(shù)得到的最小值,然后分類討論,根據(jù)零點存在定理,得到每種情況下的零點情況.

1)當時,,

,則.

,得.

時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增.

所以的極小值點,也是最小值點,

故當時,成立.

2 ,由,得.

所以當時,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增.

所以是函數(shù)的極小值點,也是最小值點,

.

,即時,上沒有零點.

,即時,上只有一個零點.

,即時,因為,

所以內(nèi)只有一個零點;

由(1)得,令,得,

所以,于是內(nèi)有一個零點;

因此,當時,上有兩個零點.

綜上,時,函數(shù)上沒有零點;

時,函數(shù)上有一個零點;

時,函數(shù)上有兩個零點.

練習冊系列答案
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