Question

8．已知函數f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[1，3]上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=-2時，我們易得到函數的解析式，進而求出函數的導函數，列表討論導函數的符號，即可得到函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數g（x）在[1，3]上是減函數，則g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，由此轉化為函數恒成立問題，并轉化為a的不等式，解不等式即可得到實數a的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=-2時，f（x）=x²-2lnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

由上表可知，函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
（2）由數g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[1，3]上是減函數．
∴g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，
∴不等式2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$≤0在[1，3]上恒成立．
即a≤$\frac{2}{x}$-2x²，在[1，3]上恒成立，
令h（x）=$\frac{2}{x}$-2x²，
∴h′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-4x＜0，在[1，3]上恒成立，
∴h（x）在[1，3]為減函數，
∴h（x）_min=$\frac{2}{3}$-18=-$\frac{52}{3}$
∴a≤-$\frac{52}{3}$

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數的單調性與導數的關系，其中根據原函數的解析式，求出導函數的解析式是解答本題的關鍵．