Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若兩個(gè)極值點(diǎn)，試判斷與的大小關(guān)系并證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析

【解析】

（1）利用函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可知在上有兩個(gè)不等實(shí)根，將問題轉(zhuǎn)化為與在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式確定相切為臨界狀態(tài)，進(jìn)而利用過某點(diǎn)處切線的求解方法可求得結(jié)果；

（2）根據(jù)為的兩根可得到，設(shè)，則，由方程組可求得，將與的大小比較問題轉(zhuǎn)化為比較的大小關(guān)系，進(jìn)一步將問題化為比較大小關(guān)系，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得，進(jìn)而得到結(jié)論.

（1）由題意得：定義域?yàn)?/span>，，

有兩個(gè)極值點(diǎn)，在上有兩個(gè)不等實(shí)根，

令，則與在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，

則，解得：，

則當(dāng)時(shí)，與在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，

即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).

（2），證明如下：

由題意得：，

為的兩個(gè)根，不妨設(shè)，則，

則，解得：，

要考慮大小關(guān)系即考慮的大小關(guān)系，

即考慮的大小關(guān)系即考慮的大小關(guān)系，

即考慮的大小關(guān)系即的大小關(guān)系，

令，

則，

由知：，

在上單調(diào)遞減，，即，

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