Question

【題目】定義：對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f（﹣x）=﹣f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），試判斷f（x）是否為定義域R上的“局部奇函數(shù)”？若是，求出滿足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，請說明理由；
（2）若f（x）=2x+m是定義在區(qū)間[﹣1，1]上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．

當(dāng)f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），時(shí)，

方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，

所以f（x）為“局部奇函數(shù)”．

（2）解：當(dāng)f（x）=2x+m時(shí)，f（﹣x）=﹣f（x）可化為2x+2﹣x+2m=0，

因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閇﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．

令t=2x∈[ ，2]，則﹣2m=t+ ．

設(shè)g（t）=t+ ，則g'（t）= ，

當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上為減函數(shù)，

當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)．

所以t∈[ ，2]時(shí)，g（t）∈[2， ]．

所以﹣2m∈[2， ]，即m∈[﹣ ，﹣1]．

（3）解：當(dāng)f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3時(shí)，f（﹣x）=﹣f（x）可化為4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0．

t=2x+2﹣x≥2，則4x+4﹣x=t2﹣2，

從而t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解即可保證f（x）為“局部奇函數(shù)”．

令F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，

1° 當(dāng)F（2）≤0，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解，

由當(dāng)F（2）≤0，即2m2﹣4m﹣4≤0，解得1﹣ ≤m≤1+ ；

（說明：也可轉(zhuǎn)化為大根大于等于2求解）

綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為1﹣ ≤m≤2

【解析】（1）利用局部奇函數(shù)的定義，建立方程f（﹣x）=﹣f（x），然后判斷方程是否有解即可；（2）利用局部奇函數(shù)的定義，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍，可得答案；（3）利用局部奇函數(shù)的定義，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍，可得答案；