Question

如圖邊長為4的正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M、Q分別為PC，AD的中點．
（1）求證：PA∥平面MBD；
（2）求：二面角P-BD-A的余弦值；
（3）試問：在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點N的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于點O，連接MO，由正方形ABCD知O為AC的中點，由M為PC的中點，知MO∥PA，由此能夠證明PA∥平面MBD
（2）以QA為x軸，過Q平行于AB的直線為y軸，以QP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出二面角P-BD-A的余弦值．
（3）存在點N，當N為AB中點時，平面PQB⊥平面PNC．由四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點，知BQ⊥NC，由此能夠證明平面PCN⊥平面PQB．

解答：（1）證明：連接AC交BD于點O，連接MO，
由正方形ABCD知O為AC的中點，
∵M為PC的中點，
∴MO∥PA，
∵MO?平面MBD，PA?平面MBD，
∴PA∥平面MBD
（2）解：以QA為x軸，過Q平行于AB的直線為y軸，以QP為z軸，建立空間直角坐標系，

則P（0，0，2

3

），D（-2，0，0），B（2，4，0），
∴

DP

=(2，0，2

3

)，

DB

=(4，4，0)，
設平面PBD的法向量

n1

=（x，y，z），則

DP

•

n1

=0，

DB

•

n1

=0，
∴

2x+2 3 z=0 4x+4y=0

，∴

n1

=(

3

，-

3

，-1)，
∵平面ABD的法向量

n2

=(0，0，1)，
∴二面角P-BD-A的余弦值cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

-1

7

|=

7

7

，
∴二面角P-BD-A的余弦值為

7

7

．
（3）解：存在點N，當N為AB中點時，平面PQB⊥平面PNC，
∵四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點，∴BQ⊥NC．
由（1）知，PQ⊥平面ABCD，NC?平面ABCD，∴PQ⊥NC，
又BQ∩PQ=Q，∴NC⊥平面PQB，
∵NC?平面PCN，
∴平面PCN⊥平面PQB．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的求法，考查平面與平垂直的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法和等價轉化思想的合理運用．