Question

如圖邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面MBD；
（2）求：A到平面PBD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC交BD于O，再連接MO，根據(jù)中位線定理可得到PA∥MO，進(jìn)而可根據(jù)線面平行的判定定理可證；
（2）作QE⊥BD，連接PE，計(jì)算PE的長(zhǎng)，利用等體積，即可得到結(jié)論．
解答：（1）證明：連AC交BD于O，連MO，則ABCD為正方形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)，M為PC中點(diǎn)，所以MO∥PA，
又PA?平面MBD，MO?平面MBD，∴PA∥平面MBD；
（2）解：作QE⊥BD，連接PE，則
∵正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，Q為AD的中點(diǎn)
∴PQ⊥平面ABCD
∵QE⊥BD，∴PE⊥BD，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴PQ=2，QE=，BD=4，∴PE=
設(shè)A到平面PBD的距離為d，則由等體積可得=
∴d=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，考查點(diǎn)到平面的距離，正確運(yùn)用等體積轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．