Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）2個(gè)

【解析】

(1)對求導(dǎo)后,根據(jù)的正負(fù)對的正負(fù)進(jìn)行分情況討論,得出對應(yīng)單調(diào)性即可;

(2)方法一:對求導(dǎo)后,對,,三種情況,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分別討論零點(diǎn)個(gè)數(shù);方法二:對求導(dǎo)后,對,兩種情況,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分別討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(1),其定義域?yàn)?/span>,,

①當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,所以在上單調(diào)遞增,

②當(dāng)時(shí),令得,令得,

所以在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

綜上所述,

當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.

(2)方法一:由已知得,,則.

①當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,所以在單調(diào)遞減,

所以,所以在上無零點(diǎn);

②當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>單調(diào)遞增,且,,

所以存在,使,

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

所以在遞減,遞增,且,所以,

又因?yàn)?/span>,

所以,所以在上存在一個(gè)零點(diǎn),

所以在上有兩個(gè)零點(diǎn);

③當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>,所以在上無零點(diǎn);

綜上所述,在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

方法二:由已知得,,則.

①當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,所以在單調(diào)遞增,

所以,所以在上無零點(diǎn);

②當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增,

又因?yàn)?/span>,,

所以使,

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),

所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,

且,所以,

又因?yàn)?/span>,所以,

所以在上存在唯一零點(diǎn),

所以在上存在兩個(gè)零點(diǎn),

綜上所述,在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).