Question

【題目】已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且.

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 時(shí)， 單調(diào)遞減， 時(shí)， 單調(diào)遞增(2) 當(dāng)時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)和或時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且， 由三個(gè)零點(diǎn).

【解析】試題分析：(1)首先明確的表達(dá)式，求出在上單調(diào)遞增，且，從而得到的單調(diào)區(qū)間；

（2）由，得或，若，即，

轉(zhuǎn)而判斷直線(xiàn)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

試題解析：

（1）對(duì)，求導(dǎo)可得，

所以，與是，所以，

所以，

于是在上單調(diào)遞增，注意到，

故時(shí)， 單調(diào)遞減， 時(shí)， 單調(diào)遞增.

（2）由（1）可知，

由，得或，

若，則，即，

設(shè)

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

分析知時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， ，

現(xiàn)考慮特殊情況：

①若直線(xiàn)與相切，

設(shè)切點(diǎn)為，則 ，整理得，

設(shè)，顯然在單調(diào)遞增，

而，故，此時(shí).

②若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，由，則，則，

結(jié)合圖形不難得到如下的結(jié)論：

當(dāng)時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)和或時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)且， 由三個(gè)零點(diǎn).