Question

【題目】已知函數(shù)（， 為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）求出，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；；（2）由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則其導函數(shù)在恒成立，再分離參數(shù)得到在恒成立，此時問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)在區(qū)間上的最小值問題，利用導數(shù)研究其單調性，求出最小值即可得結果.

試題解析：（1）由得

當時， ，所以在上為增函數(shù)；

當時， 時， ， 時， ，

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

（2）當時，

則

若在區(qū)間上為增函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立.

令， ；則， ；

令，則

當時， ，則在單調遞增

而，

所以函數(shù)在只有一個零點，設為，

即時， ，即； 時， ，即，

∴， ，有最小值，

把代入上式可得，

又因為，所以，

又恒成立，所以，又因為為整數(shù)，所以，

所以整數(shù)的最大值為.