Question

【題目】如圖，四邊形中， ， ， ， ， 、分別在、上， ，現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面．

（）若，是否存在折疊后的線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．

（）求三棱錐的體積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)存在，使得平面，此時(shí)，即，利用幾何關(guān)系可知四邊形為平行四邊形，則，利用線(xiàn)面平行的判斷定理可知平面成立．

(2)由題意可得三棱錐的體積，由均值不等式的結(jié)論可知時(shí)，三棱錐的體積有最大值，最大值為．

建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面的法向量為，故點(diǎn)到平面的距離．

試題解析：

（）存在，使得平面，此時(shí)．

證明：當(dāng)，此時(shí)，

過(guò)作，與交，則，

又，故，

∵， ，

∴，且，故四邊形為平行四邊形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面成立．

（）∵平面平面， 平面， ，

∴平面，

∵，

∴， ， ，

故三棱錐的體積，

∴時(shí)，三棱錐的體積有最大值，最大值為．

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ．

， ， ．

設(shè)平面的法向量為，則，

∴，取，則， ，

∴．

∴點(diǎn)到平面的距離．