【題目】綜合題。
(1)已知a,b都是正數(shù),求證:a5+b5≥a2b3+a3b2 .
(2)已知a>0,證明: .
【答案】
(1)證明:由a,b>0,可得
a5+b5﹣a2b3﹣a3b2=(a5﹣a2b3)+(b5﹣a3b2)
=a2(a3﹣b3)﹣b2(a3﹣b3)
=(a2﹣b2)(a3﹣b3)
=(a﹣b)2(a+b)(a2+ab+b2)≥0,
即有a5+b5≥a2b3+a3b2
(2)要證 ,
只要證 ,
即要證 ,
即要證 ,
即要證 ,
因為a>0,所以 ,
所以
【解析】(1)運用作差比較法,通過因式分解法,判斷符號,即可得證;(2)運用分析法證明.要證原不等式成立,通過兩邊平方,化簡整理,再由基本不等式即可得證.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解不等式的證明的相關知識,掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學歸納法等.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學組織了一次高二文科學生數(shù)學學業(yè)水平模擬測試,學校從測試合格的男、女生中各隨機抽取100人的成績進行統(tǒng)計分析,分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學成績的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)若所得分數(shù)大于等于80分認定為優(yōu)秀,求男、女生優(yōu)秀人數(shù)各有多少人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中的優(yōu)秀學生中用分層抽樣的方法抽取5人,從這5人中任意任取2人,求至少有一名男生的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x﹣8,g(x)=2x2﹣4x﹣16,
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若對一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}中, . (Ⅰ)求a1 , a2 , a3 , a4;
(Ⅱ)猜想an的表達式,并用數(shù)學歸納法加以證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,x∈R.
(1)分別求出f(2)+f( ),f(3)+f( ),f(4)+f( )的值;
(2)根據(jù)(1)歸納猜想出f(x)+f( )的值,并證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=3|x+2|﹣|x﹣4|.
(1)求不等式f(x)>2的解集;
(2)設m,n,k為正實數(shù),且m+n+k=f(0),求證:mn+mk+nk≤ .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.
現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min,在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運行的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB的長;
(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)?
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