Question

【題目】對(duì)數(shù)函數(shù)（且）和指數(shù)函數(shù)（且）互為反函數(shù).已知函數(shù)，其反函數(shù)為．

（1）若函數(shù)定義域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（2）若為定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，．求的解析式．

（3）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意的，存在常數(shù)，都有成立，則稱函數(shù)是上的有界函數(shù)，其中為函數(shù)的上界.若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，探究函數(shù)在上是否存在上界，若存在求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）k＞1，（2），（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，轉(zhuǎn)化為kx2+2x+1 > 0恒成立，進(jìn)行求解（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及時(shí)的解析式即可求函數(shù)的解析式（3）利用分子常數(shù)化，結(jié)合上界的定義分別進(jìn)行判斷、求解即可.

（1）由題意知，，

的定義域?yàn)?/span>R，

恒成立，

當(dāng)時(shí)，不滿足條件，

當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，

則，即.

（2）時(shí)，，

設(shè)，則，

，

為定義在上的奇函數(shù)，

，

當(dāng)時(shí)，，

，

綜上

（3），

當(dāng)，

則在上單調(diào)遞減，

，

①若，即時(shí)，存在上界M，，

②若，即時(shí)，存在上界M，，

(ii) 當(dāng)時(shí)，

①若時(shí)，在，上單調(diào)遞增，，，存在上界，，，

②若時(shí)，在，上單調(diào)遞增，，，故不存在上界．

③若時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞增，，，故不存在上界，

④若，在，上單調(diào)遞增，，，故不存在上界

⑤若，在，上單調(diào)遞增，，，而，存在上界，，；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，存在上界，，，

當(dāng)時(shí)，不存在上界，

當(dāng)時(shí)，存在上界，，，

當(dāng)，時(shí)，存在上界，，，

當(dāng)，時(shí)，存在上界，，．