Question

（2012•房山區(qū)一模）設(shè)集合W由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列{a_n}構(gòu)成：
①

an+an+2

2

＜an+1；②存在實(shí)數(shù)M，使a_n≤M．（n為正整數(shù)）．在以下數(shù)列
（1）{n²+1}；  （2）{

2n+9

2n+11

}；  （3）{2+

4

n

}；  （4）{1-

1

2n

}
中屬于集合W的數(shù)列編號(hào)為（　�。�

A．（1）（2）

B．（3）（4）

C．（2）（3）

D．（2）（4）

Answer 1

分析：根據(jù)集合W是否滿足①

an+an+2

2

＜an+1；②存在實(shí)數(shù)M，使a_n≤M．（n為正整數(shù)）這兩個(gè)條件的集合，說(shuō)明根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判定數(shù)列是否存在最大值，從而可判定選項(xiàng)．

解答：解：（1）∵an=n2+1，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=n²+1+（n+2）²+1-2（n+1）²-2
=n²+n²+4n+4-2（n²+2n+1）
=2＞0，
∴

an+an+2

2

＞an+1，
∴（1）不屬于集合W；
（2）∵a_n=

2n+9

2n+11

，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=

2n+9

2n+11

+

2(n+2)+9

2(n+2)+11

-2×

2(n+1)+9

2(n+1)+11

=1-

2

2n+11

+1-

2

2n+15

-2+

4

2n+13

=

4

2n+13

-

2

2n+11

-

2

2n+15

＜0，
∴①

an+an+2

2

＜an+1成立．
a_n=

2n+9

2n+11

=1-

2

2n+11

＜1，
滿足集合W的兩個(gè)條件，從而可知（2）屬于集合W；
（3）∵an=2+

4

n

，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=2+

4

n

+2+

4

n+2

-4-

8

n+1

=

4

n

+

4

n+2

-

8

n+1

＞0，
∴

an+an+2

2

＞an+1，
∴（3）不屬于集合W；
（4）由an=1-

1

2n

，得a_n+a_n+2-2a_n+1≤0
所以數(shù)列{a_n}滿足①

an+an+2

2

＜an+1；
當(dāng)n趨向無(wú)窮大時(shí)，an=1-

1

2n

趨近于1，故a_n＜1，
滿足集合W的兩個(gè)條件，從而可知（4）屬于集合W
故（2）（4）正確，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及數(shù)列的單調(diào)性，同時(shí)考查了了分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力，屬于難題．