【題目】如圖,直四棱柱的底面是菱形,,,,,,分別是,,的中點.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)過作,證明,再證明,可得,再由線面平行的判定可得平面;
(2)以為坐標原點,以垂直于得直線為軸,以所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標系,分別求出平面與平面的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值.
(1)如圖,過作,則,且,
又,,四邊形為平行四邊形,則,
由,為中點,得為中點,而為中點,
,,則四邊形為平行四邊形,則,
,
平面,平面,
平面;
(2)以為坐標原點,以垂直于得直線為軸,以所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標系,
則,,,
,,
設平面的一個法向量為,
由,取,得,
又平面MAA1的一個法向量為,
.
二面角的正弦值為.
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【題目】如圖,已知焦點在x軸上的橢圓有一個內含圓x2+y2=,該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M,N,且 (O為原點).
(1)求b的值;
(2)設內含圓的任意切線l交橢圓于點A、B.求證:,并求|AB|的取值范圍.
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【題目】下列說法正確的個數是( )
①設某大學的女生體重與身高具有線性相關關系,根據一組樣本數據,用最小二乘法建立的線性回歸方程為 ,則若該大學某女生身高增加,則其體重約增加;
②關于的方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
③過定圓上一定點作圓的動弦,為原點,若,則動點的軌跡為橢圓;
④已知是橢圓的左焦點,設動點在橢圓上,若直線的斜率大于,則直線(為原點)的斜率的取值范圍是.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】在平面直角坐標系內,已知點,圓的方程為,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線和直線相交于點.
(1)當點在圓上運動時,求點的軌跡方程;
(2)過點能否作一條直線,與點的軌跡交于兩點,且點為線段的中點?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系(),點為曲線上的動點,點在線段的延長線上,且滿足,點的軌跡為。
(Ⅰ)求的極坐標方程;
(Ⅱ)設點的極坐標為,求面積的最小值。
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【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產品的宣傳費用,需了解年宣傳費(單位:萬元)對年銷量(單位:噸)和年利潤(單位:萬元)的影響對近6年宣傳費和年銷量的數據做了初步統(tǒng)計,得到如下數據:
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣傳費(萬元) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年銷售量(噸) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
經電腦模擬,發(fā)現年宣傳費(萬元)與年銷售量(噸)之間近似滿足關系式,兩邊取對數,即,令,即對上述數據作了初步處理,得到相關的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(1)從表中所給出的6年年銷售量數據中任選2年做年銷售量的調研,求所選數據中至多有一年年銷售量低于21噸的概率.
(2)根據所給數據,求關于的回歸方程;
(3)若生產該產品的固定成本為200(萬元),且每生產1(噸)產品的生產成本為20(萬元)(總成本=固定成本+生產成本+年宣傳費),銷售收入為(萬元),假定該產品產銷平衡(即生產的產品都能賣掉),2019年該公司計劃投入108萬元宣傳費,你認為該決策合理嗎?請說明理由.(其中為自然對數的底數,)
附:對于一組數據,其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為
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