Question

【題目】如圖，已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓有一個(gè)內(nèi)含圓x2＋y2=，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點(diǎn)M，N，且 (O為原點(diǎn)).

（1）求b的值；

（2）設(shè)內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點(diǎn)A、B.求證：，并求|AB|的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明見(jiàn)解析，.

【解析】

（1）設(shè)的坐標(biāo)，利用，求得，得到點(diǎn)代入橢圓的方程，即可求解；

（2）分類(lèi)討論，當(dāng)軸時(shí)，由（1）知；當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)的方程為，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理證得，再利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

（1）由圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點(diǎn)M，N，，

可得直線的方程為，

設(shè)，

由，即，解得，

可得點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，

可得.

（2）當(dāng)軸時(shí)，由（1）知，

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)的方程為，即，

則原點(diǎn)到直線的距離，可得，整理得，

把直線代入橢圓的方程，

整理得，

則，

設(shè)，則，

所以，即，

即橢圓內(nèi)含圓的任意切線交橢圓時(shí)，總有，

當(dāng)軸時(shí)，可得；

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，可得，

設(shè)，則，

則，

所以當(dāng)，即時(shí)，的取最大值，

當(dāng)，即時(shí)，的取最小值，

綜上可得，的取值范圍是.