Question

（本小題滿分13分）
已知R，函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的單調(diào)區(qū)間為 
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法的思想來求證不等式的成立。

試題分析：解：（1）由題意得 ………2分
當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的單調(diào)區(qū)間為 ……4分
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為 ……………6分
(2)證明：由于，所以當(dāng)時(shí)，
 …………8分
當(dāng)時(shí)，……10分
設(shè)，則，
于是隨的變化情況如下表：

	0				1
			0
	1	減	極小值	增	1

所以， …………12分
所以，當(dāng)時(shí)，，
故 …………13分
（2）另解：由于，所以當(dāng)時(shí)，．
令，則．
當(dāng)時(shí)，在上遞增， ………8分
當(dāng)時(shí)，，在上遞減，在上遞增，所以．
故當(dāng)時(shí)， ………10分
當(dāng)時(shí)，．
設(shè)，則，
③當(dāng)時(shí)，在上遞減， ……11分
④當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以
．
故當(dāng)時(shí)，．
故 …………13分
點(diǎn)評：對于含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，這一點(diǎn)是高考的重點(diǎn)，同時(shí)對于參數(shù)的分類討論思想，這是解決這類問題的難點(diǎn)，而分類的標(biāo)準(zhǔn)一般要考慮到函數(shù)的定義域?qū)τ趨��?shù)的制約，進(jìn)而分析得到。而不等式的恒成立問題，常常轉(zhuǎn)化為分離參數(shù) 思想，求解函數(shù)的最值來完成。屬于難度題。