Question

【題目】若函數(shù)滿足：，則稱為“函數(shù)”．

（1）試判斷是否為“函數(shù)”，并說明理由；

（2）若為“函數(shù)”且，

（ⅰ）求證：的零點(diǎn)在上；

（ii）求證：對(duì)任意，存在，使在上恒成立．

Answer 1

【答案】(1)是“函數(shù)”，理由見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)因?yàn)?/span>滿足,所以是“函數(shù)”；(2)(i)由

且,解得,根據(jù)函數(shù)和都在上單調(diào)遞增,可得單調(diào)遞增,再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可判斷零點(diǎn)在上；(ii)由(i)可知,且,又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增,所以在時(shí),,所以存在,使在上恒成立.

試題解析：解：（1）∵，

∴為“函數(shù)”．

（2）∵①

②

∴①+②得：，∴．

（ⅰ）∵與均為增函數(shù)，∴在上為贈(zèng)函數(shù)，

又，∴的唯一零點(diǎn)必在上．

∵，，∴的唯一零點(diǎn)在上．

（ⅱ）由（ⅰ）知，的零點(diǎn)，且，

又在上為增函數(shù)，∴在上恒成立，

∴對(duì)任意，存在，使在上恒成立．