【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面， 為等腰直角三角形， ，且， 分別是的中點(diǎn).

(1)若是的中點(diǎn)，求證： 平面；

(2)若是線段上的任意一點(diǎn)，求直線與平面所成角正弦的最大值.

【答案】(1)見解析(2) 當(dāng)時(shí)， .

【解析】試題分析：

本題考查線面平行的判定和利用空間向量求直線和平面所成的角.（1）先證和，從而得到平面平面，故可得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)設(shè)，且，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)后可得.利用線面角的公式得到所求線面角的正弦值，根據(jù)二次函數(shù)的最值求解.

試題解析：

(1)連接， ，

∵分別是的中點(diǎn)，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

所以.

因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，

所以，

又，

所以平面平面，

又平面，

所以平面.

(2)由題意得兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ，

∴， .

設(shè)平面的法向量為，

由，得，

令，得， ，

所以平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)，且，

所以，得， ， ，

所以點(diǎn)，

所以.

設(shè)直線與平面所成角為，

則

∴當(dāng)時(shí)， .

所以直線與平面所成角正弦的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (m、n為常數(shù)，e = 2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y = f (x)在點(diǎn)(1，f (1))處的切線方程是．

(Ⅰ)求m、n的值；

(Ⅱ)求f (x)的最大值；

(Ⅲ)設(shè) (其中為f (x)的導(dǎo)函數(shù))，證明：對任意x > 0，都有．

(注： )

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為， ，直線交橢圓于， 兩點(diǎn)， 的周長為16， 的周長為12.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，求直線的一般方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ－2cos θ－6sin θ＋＝0，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).

(1)求曲線C的普通方程；

(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3)，求|PA|＋|PB|的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知是直角梯形， ， ， ， ， 平面．

（Ⅰ）上是否存在點(diǎn)使平面，若存在，指出的位置并證明，若不存在，請說明理由；（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）若，求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為， ，直線交橢圓于， 兩點(diǎn)， 的周長為16， 的周長為12.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，求直線的一般方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知長方體中, 為的中點(diǎn),如圖所示.

(1) 證明: 平面;

(2) 求平面與平面所成銳二面角的大小的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*).

(1)求p的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{bn}滿足＝(3＋p)anbn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2018·日照一模)如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，給出下列結(jié)論：

①A、M、O三點(diǎn)共線；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．

其中正確結(jié)論的序號為________．

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