(2013•廣東模擬)已知橢圓C1
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的右頂點(diǎn)A(1,0),一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形.
(I) 求橢圓C1的方程;
(II) 設(shè)點(diǎn)P是拋物線C2:y=x2+h(h∈R)與C1的公共點(diǎn),C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)另一點(diǎn)M.Q是P關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn),問中否存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上.
分析:(I)利用橢圓C1
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的右頂點(diǎn)A(1,0),一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形,建立方程,求出幾何量,即可求橢圓C1的方程;
(II)假設(shè)存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上,利用
QP
QM
=0
,
QM
OA
,即可求得結(jié)論.
解答:解:(I)由題意,∵橢圓C1
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的右頂點(diǎn)A(1,0),一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形
∴b=1,2•
b2
a
=1
∴a=2,b=1
∴所求的橢圓方程為
y2
4
+x2=1
,
(II)不妨設(shè)P(t,t2+h),M(x0,y0),則(t2+h)2+4t2-4=0(1)
假設(shè)存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上,則
QP
QM
=0

QM
OA

∴M(-t,-t2-h),∴2t=
t2+h
t

∴h=t2>0
代入(1)得h2+h-1=0
∴h=
5
-1
2
  
∴存在h=
5
-1
2
,使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的幾何性質(zhì),考查向量知識(shí),考查學(xué)生的計(jì)算能力,求得橢圓的方程是關(guān)鍵.
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AP
•(
AB
+
AC
)
滿足( 。

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