【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x﹣4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y=x﹣1上,過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:聯(lián)立得: ,
解得: ,
∴圓心C(3,2).
若k不存在,不合題意;
若k存在,設(shè)切線為:y=kx+3,可得圓心到切線的距離d=r,即 =1,
解得:k=0或k=﹣ ,
則所求切線為y=3或y=﹣ x+3;
(2)解:設(shè)點(diǎn)M(x,y),由MA=2MO,知: =2 ,
化簡(jiǎn)得:x2+(y+1)2=4,
∴點(diǎn)M的軌跡為以(0,﹣1)為圓心,2為半徑的圓,可記為圓D,
又∵點(diǎn)M在圓C上,C(a,2a﹣4),
∴圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切,
∴1≤|CD|≤3,其中|CD|= ,
∴1≤ ≤3,
解得:0≤a≤ .
【解析】(1)聯(lián)立直線l與直線y=x﹣1解析式,求出方程組的解得到圓心C坐標(biāo),根據(jù)A坐標(biāo)設(shè)出切線的方程,由圓心到切線的距離等于圓的半徑,列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,確定出切線方程即可;(2)設(shè)M(x,y),由MA=2MO,利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式,整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以(0,﹣1)為圓心,2為半徑的圓,可記為圓D,由M在圓C上,得到圓C與圓D相交或相切,根據(jù)兩圓的半徑長(zhǎng),得出兩圓心間的距離范圍,利用兩點(diǎn)間的距離公式列出不等式,求出不等式的解集,即可得到a的范圍.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,掌握點(diǎn)到直線的距離為:即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn},其中{an}的公差不為0.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1 , a2 , a5是數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),且S4=16.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{ }為等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)t;
(3)構(gòu)造數(shù)列a1 , b1 , a2 , b1 , b2 , a3 , b1 , b2 , b3 , …,ak , b1 , b2 , …,bk , …,若該數(shù)列前n項(xiàng)和Tn=1821,求n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃種植A,B兩種中藥材,該公司最多能承包50畝的土地,可使用的周轉(zhuǎn)資金不超過(guò)54萬(wàn)元,假設(shè)藥材A售價(jià)為0.55萬(wàn)元/噸,產(chǎn)量為4噸/畝,種植成本1.2萬(wàn)元/畝;藥材B售價(jià)為0.3萬(wàn)元/噸,產(chǎn)量為6噸/畝,種植成本0.9萬(wàn)元/畝時(shí)公司的總利潤(rùn)最大,則A,B兩種中藥材的種植面積應(yīng)各為多少畝,最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知向量 , ,且 .
(1)求角B的大;
(2)若b=2,△ABC的面積為 ,求a+c的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一,城市缺水問(wèn)題較為突出.某市為了節(jié)約生活用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理(即確定一個(gè)居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)03.5,用水量不超過(guò)a的部分按照平價(jià)收費(fèi),超過(guò)a的部分按照議價(jià)收費(fèi)).為了較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),通過(guò)抽樣獲得了 100位居民某年的月均用水量(單位:t),制作了頻率分布直方圖.
(1)由于某種原因頻率分布直方圖部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,請(qǐng)?jiān)趫D中將其補(bǔ)充完整;
(2)用樣本估計(jì)總體,如果希望80%的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)03.5,則月均用水量的最低標(biāo)準(zhǔn)定為多少噸,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)從頻率分布直方圖中估計(jì)該100位居民月均用水量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐 中,底面ABCD是直角梯形, , ,平面 底面ABCD, O為AD的中點(diǎn), M是棱PC上的點(diǎn), AD=2AB.
(1)求證:平面 平面PAD;
(2)若 平面BMO,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,1),B(0,﹣1),C(﹣2,1).
(I)求AC邊中線所在直線方程;
(II)求△ABC的外接圓方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ax﹣1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). (Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求過(guò)點(diǎn)(1,f(1))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l過(guò)點(diǎn)P(﹣1,3). (Ⅰ)若直線l與直線m:3x+y﹣1=0垂直,求直線l的一般式方程;
(Ⅱ)寫出(Ⅰ)中直線l的截距式方程,并求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.
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