精英家教網(wǎng)某校同學(xué)設(shè)計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中AC、BD是過拋物線Γ焦點F的兩條弦,且其焦點F(0,1),
AC
BD
=0
,點E為y軸上一點,記∠EFA=α,其中α為銳角.
(1)求拋物線Γ方程;
(2)求證:|AF|=
2(cosα+1)
sin2α
分析:(1)設(shè)出拋物線Γ的標(biāo)準方程,由焦點坐標(biāo)算出焦參數(shù)p=2,可得拋物線Γ的方程;
(2)過點A作AK⊥y軸于點K,設(shè)|AF|=m,在Rt△AFK中利用三角函數(shù)的定義算出|AK|=msinα且|FK|=mcosα,可得點A的坐標(biāo)為(-msinα,1+mcosα),代入拋物線Γ的方程得到關(guān)于m、α的等式,將其看作是關(guān)于m的一元二次方程,利用求根公式加以計算可得m=
2(cosα+1)
sin2α
,即|AF|=
2(cosα+1)
sin2α
成立.
解答:解:(1)設(shè)拋物線Γ的方程為x2=2py(P>0),精英家教網(wǎng)
∵拋物線Γ焦點為F(0,1),∴
p
2
=1,解得p=2,
因此,拋物線Γ的方程為x2=4y;
(2)過點A作AK⊥y軸于點K,設(shè)|AF|=m,
則Rt△AFK中,∠KFA=α,可得sinα=
|AK|
|AF|
,cosα=
|FK|
|AF|
,
可得|AK|=|AF|sinα=msinα,|FK|=|AF|cosα=mcosα,
由此可得點A的坐標(biāo)為(-msinα,1+mcosα)
∵點A為拋物線x2=4y上的點,∴(-msinα)2=4(1+mcosα),
整理得m2sin2α-4mcosα-4=0.將其看作是關(guān)于m的一元二次方程,
解得m=
4cosα±
16cos2α +16sin2α
 
2sin2α
=
4cosα±4
2sin2α
=
2cosα±2
sin2α

∵α為銳角,可得cosα<1,且m>0.
∴m=
2cosα-2
sin2α
<0不符合題意,得m=
2cosα+2
sin2α
=
2(cosα+1)
sin2α

即:|AF|=
2(cosα+1)
sin2α
成立.
點評:本題已知拋物線的焦點坐標(biāo),求拋物線的方程并證明關(guān)于線段AF長的一個等式.著重考查了拋物線的標(biāo)準方程、直角三角形中三角函數(shù)的定義與一元二次方程根的求法等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年上海市楊浦區(qū)高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

某校同學(xué)設(shè)計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中是過拋物線焦點的兩條弦,且其焦點,點軸上一點,記,其中為銳角.

(1)求拋物線方程;

(2)如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小,求的大小?

 

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(1)求拋物線方程;

(2)求證:

 

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