Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長都等于2a，下底面ABC在水平面上保持不動(dòng)，在側(cè)棱與底面所成的角保持為60°的情況下，上底面A₁B₁C₁還是可以移動(dòng)的，則△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的豎直投影所掃過的區(qū)域的面積為

(6+

3

+π)a2

．

Answer 1

分析：由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長都等于2a，下底面ABC在水平面上保持不動(dòng)，又由側(cè)棱與底面所成的角為60°，我們可以分析出△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的豎直投影所掃過的區(qū)域的形狀，進(jìn)而求出其面積．

解答：解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長都等于2a，
當(dāng)下底面ABC在水平面上保持不動(dòng)，
且側(cè)棱與底面所成的角為60°時(shí)，
△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的豎直投影所掃過的區(qū)域如下圖所示：

由圖可知該區(qū)域有一個(gè)邊長為2a的正三角形，三個(gè)兩邊長分別為2a，a的矩形，和三個(gè)半徑為a，圓心角為120°的扇形組成
其面積S=

3

4

•（2a）²+3•（2a）•a+π•a²=(6+

3

+π)a2
故答案為：(6+

3

+π)a2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面夾角，其中根據(jù)側(cè)棱與底面的夾角，則上頂點(diǎn)在下底面上的投影是一個(gè)以下頂點(diǎn)為圓心，以a為半徑的圓，進(jìn)而畫出△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的豎直投影所掃過的區(qū)域的形狀，是解答本題的關(guān)鍵．