Question

已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=2an-

n+2

n(n+1)

．
（I）求證數(shù)列{an-

1

n

}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）求證：

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜3．

Answer 1

分析：（I）由an+1=2an-

n+2

n(n+1)

，可得an+1-

1

n+1

=2(an-

1

n

)，所以可證數(shù)列{an-

1

n

}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）因?yàn)閎_n=na_n=n•2^n-1+1，所以S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
記T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，錯(cuò)位相減得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，從而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）由an=2n-1+

1

n

知an≥2，a1=2，a2=

5

2

，當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=2an-

n+2

n(n+1)

知an+1-1=2(an-1)+

n2-2

n(n+1)

＞ 2(an-1)，從而有

1

ak-1

＜

1

2k-2

(k=3.4，，n)進(jìn)而可用放縮法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，故問(wèn)題得證．

解答：證明：（I）∵an+1-

1

n+1

=2(an-

1

n

)，∴數(shù)列{an-

1

n

}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an-

1

n

=2n-1，∴an=2n-1+

1

n

（II）∵b_n=na_n=n•2^n-1+1，∴S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
記∴T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，兩式相減化簡(jiǎn)得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n-1）×2ⁿ+n+1；
（III）由an=2n-1+

1

n

知an≥2，a1=2，a2=

5

2

當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=2an-

n+2

n(n+1)

知an+1-1=2(an-1)+

n2-2

n(n+1)

＞ 2(an-1)，∴ak-1＞2(ak-1-1)＞＞2k-2•

3

2

＞2k-2即

1

ak-1

＜

1

2k-2

(k=3.4，，n)
當(dāng)n=1，2時(shí)，結(jié)論成立．
當(dāng)n≥3時(shí)，

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜1+

2

3

+

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

=

5

3

+

1 2 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

 ＜

8

3

＜3，∴

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜3

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比、等差數(shù)列、不等式和數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，化歸、遞推等數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)考查運(yùn)算能力，推理論證以及綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．