Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= x2+alnx（a＜0）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線斜率為 ，求實數(shù)a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=x2﹣（1﹣a）x，當(dāng)a≤﹣1時，討論f（x）與g（x）圖象交點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）= x2+alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x+ ，

由函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線斜率為 ，

可得2+ = ，解得a=﹣3；

（2）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），

f′（x）= ，

當(dāng)a＜0時，f′（x）= ，

當(dāng)0＜x＜ 時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞ 時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)a＜0時，f（x）的增區(qū)間是（ ，+∞），減區(qū)間是（0， ）；

（3）解：令F（x）=f（x）﹣g（x）= x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x

=﹣ x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0，

問題等價于求函數(shù)F（x）的零點個數(shù)．

當(dāng)a≤﹣1時，F(xiàn)′（x）=﹣x+1﹣a+ =﹣ ，

由a=﹣1時，F(xiàn)′（x）≤0，F(xiàn)（x）遞減，

由F（3）=﹣ +6﹣ln3= ﹣ln3＞0，F(xiàn)（4）=﹣8+8﹣ln4＜0，

由零點存在定理可得F（x）在（3，4）內(nèi)存在一個零點；

當(dāng)a＜﹣1時，即﹣a＞1時，F(xiàn)（x）在（0，1）遞減，（1，﹣a）遞增，（﹣a，+∞）遞減，

由極小值F（1）=﹣ +（1﹣a）+aln1= ﹣a＞0，

極大值F（﹣a）=﹣ a2+a2﹣a+aln（﹣a）= a2﹣a+aln（﹣a）＞0，

由x→+∞時，F(xiàn)（x）→﹣∞，

可得F（x）存在一個零點．

綜上可得，當(dāng)a≤﹣1時，f（x）與g（x）圖象交點的個數(shù)為1．

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得切線的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x），問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）的零點個數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)F（x）的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)F（x）的零點個數(shù)即f（x），g（x）的交點即可
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．