【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E為PC上一點(diǎn),且PE= PC.

(Ⅰ)求PE的長;
(Ⅱ)求證:AE⊥平面PBC;
(Ⅲ)求二面角B﹣AE﹣D的度數(shù).

【答案】解:(Ⅰ)∵四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,
AB=AP=2,DA=DC=1,E為PC上一點(diǎn),
且PE= PC,
∴AC= = ,
∴PC= = = ,
∴PE= PC=

(Ⅱ)證明:以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,2),E( , , ),B(2,0,0),
=( , , ), =(2,0,﹣2),
=(1,1,﹣2),
= =0, = =0,
∴AE⊥PB,AE⊥PC,
又PB∩PC=P,∴AE⊥平面PBC.
(Ⅲ)解:D(0,1,0), =(2,0,0), =(0,1,0), =( , , ),
設(shè)平面ABE的法向量 =(x,y,z),
,取y=1,得 =(0,1,﹣1),
設(shè)平面ADE的法向量 =(a,b,c),
,取a=1,得 =(1,0,﹣1),
設(shè)二面角B﹣AE﹣D的度數(shù)為θ,
則cosθ= = =
∴θ=60°,
∴二面角B﹣AE﹣D的度數(shù)為60°.
【解析】(Ⅰ)利用勾股定理求出AC長,從而得到PC長,由此能求出PE.(Ⅱ)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明AE⊥平面PBC.(Ⅲ)求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量,利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的度數(shù).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

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