【題目】己知函數(shù)，，.

（1）求函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）若對任意恒成立，求的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）分離參數(shù)，利用導數(shù)得出的單調性，結合圖象，即可得出函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）構造函數(shù)，，分類討論的值，利用導數(shù)得出其單調性以及最值，即可得出的取值范圍.

解：（1）由題意，可知，∴不是的零點

當時，令，整理得，

令，.則.

或；

∴函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增

即在處取得極小值.

∵，；，；，

∴函數(shù)大致圖象如下圖所示：

結合圖形可知：①當，即時，無解，即無解，此時沒有零點，

②當，即時，有1個解，此時有1個零點，

③當，即時，有2個解，此時有2個零點，

④當，即時，有3個解，此時有3個零點，

綜上所述，當時，沒有零點；

當時，有1個零點；

當時，有2個零點；

當時，有3個零點.

（2）在上恒成立

∴在上恒成立

令，

；，即函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，則

令，，

當時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調遞增

即恒成立

當時，；

則函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增

在區(qū)間上恒成立

令，

在區(qū)間上單調遞增

，解得

綜上，

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D為線段AB上一點，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA與平面ABC所成的角為45°．

（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；

（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于，兩點，點在準線上的投影為，若是拋物線上一點，且.

（1）證明：直線經過的中點；

（2）求面積的最小值及此時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)有兩個零點，證明：；

（2）設函數(shù)的兩個零點為，．證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，且保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系.發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：

交強險浮動因素和費率浮動比率表

浮動因素

浮動比率

上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮

上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮

上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮

上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故

上浮

上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故

上浮

某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：

類型

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

（1）求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率；

（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元.且各種投保類型車的頻率與上述機構調查的頻率一致，完成下列問題：

①若該銷售商店內有6輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，某顧客欲在店內隨機挑選2輛車，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率；

②若該銷售商一次購進120輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，并在兩種坐標系中取相同的長度單位.已知曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），射線，，分別與曲線交于極點外的三點.

（1）求的值；

（2）當時，兩點在曲線上，求與的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，則的最小值是______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線是圓心在極軸上，且經過極點的圓．已知曲線上的點M對應的參數(shù)，射線與曲線交于點．

（1）求曲線，的直角坐標方程；

（2）若點A，B為曲線上的兩個點且，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校為了解全校學生的體重情況，從全校學生中隨機抽取了100 人的體重數(shù)據，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.

（1）估計這100人體重數(shù)據的平均值和樣本方差；(結果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表)

（2）從全校學生中隨機抽取3名學生，記為體重在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；

（3）由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重近似服從正態(tài)分布.若，則認為該校學生的體重是正常的.試判斷該校學生的體重是否正常?并說明理由.

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