Question

已知，，且直線與曲線相切．
（1）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求最大的正整數(shù)，使得對(duì)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù) 都有成立；
（3）求證：．

Answer 1

（1）（2）見解析（3）見解析

（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有．（*）
，． （**）
由（*）、（**）兩式，解得，．……………………………2分
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必須恒成立．
設(shè)，，
，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，
，是增函數(shù)，，．…………………5分
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．………………………………………6分
（2）當(dāng)時(shí)，，
，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．
要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．
，解得．
因此，的最大值為．………………………………………10分
（3）證明（法一）：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，
即．………………………………………………………11分
令，得，
化簡得，………………………………13分
．………………………14分
（法二）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，
根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，即．
令，得，即．
因此，時(shí)不等式成立．………………………………11分
（另解：，，，即．）
假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，
則當(dāng)時(shí),，
要證時(shí)命題成立，即證，
即證．
在不等式中，令，得
．
時(shí)命題也成立．………………………………………13分
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得不等式對(duì)一切成立． …14分
本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、數(shù)學(xué)歸納法等綜合知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識(shí)．