【題目】已知直線經(jīng)過橢圓: 的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),橢圓的右頂點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線與直線分別交于兩點(diǎn)。

(1)求橢圓方程;

(2)求線段的長(zhǎng)度的最小值;

(3)當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí),在橢圓上有兩點(diǎn),使得,的面積都為,求直線y軸上的截距。

【答案】(1) ;(2) ;(3)

【解析】

1)因?yàn)橹本過橢圓的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn),故可解出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),即知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng),依定義寫出橢圓的方程即可.
2)引入直線AS的斜率k,用點(diǎn)斜式寫出直線AS的方程,與l的方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo),以及點(diǎn)S的坐標(biāo),又點(diǎn)B的坐標(biāo)已知,故可解 出直線SB的方程,亦用參數(shù)k表示的方程,使其與直線l聯(lián)立,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),故線段MN的長(zhǎng)度可以表示成直線AS的斜率k的函數(shù),根據(jù)其形式選擇單調(diào)性法或者基本不等式法求最值,本題適合用基本不等式求最值.
3)在上一問的基礎(chǔ)上求出的參數(shù)k,則直線SB的方程已知,可求出線段SB的長(zhǎng)度,若使面積為,只須點(diǎn)T到直線BS的距離為 即可,由此問題轉(zhuǎn)化為研究與直線SB平行且距離為的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,求出平行直線l',即有得到y軸上的截距.

解(1)由已知得橢圓的左頂點(diǎn) (-2,0),上頂點(diǎn)(0,1),

,故橢圓方程:

(2)直線AS的斜率k顯然存在,且大于0,故設(shè)直線AS

設(shè),則,可得

從而,即

B20),直線BS

可得,

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),線段長(zhǎng)度最小值為。

(3),直線BS的方程為

橢圓上有兩點(diǎn)使三角形面積為,則點(diǎn)BS的距離等于,

設(shè)直線,由,得

①當(dāng),聯(lián)立,檢驗(yàn),符合題意。

,聯(lián)立,檢驗(yàn),舍去。

綜上所述,直線y軸上的截距是

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