Question

已知數(shù)列具有性質(zhì)：①為整數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.

（1）若為偶數(shù)，且成等差數(shù)列，求的值；

（2）設(shè)(且N)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；

（3）若為正整數(shù)，求證：當(dāng)(N)時(shí)，都有.

 

Answer 1

【答案】

（1）是奇數(shù)，則，， 若是偶數(shù)，則，，

(2)根據(jù)數(shù)列的求和公式來證明不等式

(3)要證明對(duì)于當(dāng)(N)時(shí)，都有.，則要對(duì)于其通項(xiàng)公式分情況來得到其通項(xiàng)公式的表達(dá)式證明。

【解析】

試題分析：⑴設(shè)，，則：，

分兩種情況： 是奇數(shù)，則，，

若是偶數(shù)，則，，

⑵當(dāng)時(shí)，

∴

⑶∵，∴，∴

由定義可知：  ∴

∴

∴

∵，∴，

綜上可知：當(dāng)時(shí)，都有

考點(diǎn)：數(shù)列的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：本試題主要是考查了等差數(shù)列和數(shù)列的求和，以及數(shù)列與不等式的證明，屬于中檔題。