已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），△ABC的周長(zhǎng)為2+2
2
．記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W．
（1）直接寫(xiě)出W的方程（不寫(xiě)過(guò)程）；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，
2
）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，是否存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
QO
與向量(-
2
，1)共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)W的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)R在直線l：x-
3
y+8=0上．當(dāng)∠F1RF2取最大值時(shí)，求
|RF1|
|RF2|
的值．
分析：（1）利用橢圓的定義能夠直接寫(xiě)出W的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+
2
，代入橢圓方程，得（
1
2
+k2）x2+2
2
kx+1=0．因?yàn)橹本�l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以△=8k2-4（
1
2
+k2）=4k2-2＞0，解得k＜-
2
2
或k＞
2
2
．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則
OP
+
QO
=（x1+x2，y1+y2），x1+x2，=-
4
2
k
1+2k2
．y1+y2=k（x1+x2）+2
2
．所以
OP
+
QO
與向量（-2，1）共線等價(jià)于x1+x2=-
2
（y1+y2），由此能夠推導(dǎo)出不存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
QO
與
MN
共線．
（3）當(dāng)∠F1RF2取最大值時(shí)，過(guò)R、F1、F2的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切．由此能求出當(dāng)∠F1RF2取最大值時(shí)，求
|RF1|
|RF2|
的值．
解答：解：（1）W：
x2
2
+y2=1（y≠0）．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+
2
，代入橢圓方程，得
x2
2
+（kx+
2
）2=1．
整理，得（
1
2
+k2）x2+2
2
kx+1=0．①
因?yàn)橹本�l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于
△=8k2-4（
1
2
+k2）=4k2-2＞0，解得k＜-
2
2
或k＞
2
2
．
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則
OP
+
QO
=（x1+x2，y1+y2），
由①得x1+x2，=-
4
2
k
1+2k2
．②
又y1+y2=k（x1+x2）+2
2
             ③
所以
OP
+
QO
與向量（-2，1）共線等價(jià)于x1+x2=-
2
（y1+y2），
將②③代入上式，解得k=
2
2
．
所以不存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
QO
與
MN
共線
（3）當(dāng)∠F1RF2取最大值時(shí)，過(guò)R、F1、F2的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切．
直線l與x軸于S（-8，0），∵△F1SR∽△RSF2∴
|RF1|
|RF2|
=
|SF1|
|SR|
=
|SR|
|SF2|
=
|SF1|
|SR|
|SR|
|SF2|
=
|SF1|
|SF2|
=
7
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
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．

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已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1）和互不相同的點(diǎn)P1，P2，P3，…，Pn，…，滿足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，其中an、bn分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，若P1是線段AB的中點(diǎn)，設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，當(dāng)d與q滿足條件
 
時(shí)，點(diǎn)P1，P2，P3，…，Pn，…共線．

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（2）當(dāng)M點(diǎn)在C上移動(dòng)時(shí)，|MN|能否成為|MA|與|MB|的等比中項(xiàng)？若能求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能說(shuō)明理．

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