Question

定義函數(shù)為的階函數(shù).
（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程的解的個(gè)數(shù)；
（3）求證：.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí),無單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為單減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同解.當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)解.當(dāng)或時(shí),方程有唯一；
（3）詳見解析.

試題分析：(1)求導(dǎo)，對(duì)分情況討論；
(2)研究方程的解的個(gè)數(shù)，實(shí)質(zhì)就是研究函數(shù)的圖象.通過求導(dǎo)，弄清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)值的范圍，結(jié)合圖象即可知道方程的解的個(gè)數(shù).
(3)將所要證明的不等式與題中函數(shù)聯(lián)系起來看，應(yīng)該考查的3階函數(shù)，且令，即.將這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)得.由得
則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減. 這樣可得的最大值，從而得到所要證明的不等式.
試題解析：(1),
令,當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),無單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為單減區(qū)間為.
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.           4分.
(2)由當(dāng)時(shí),方程無解.當(dāng)時(shí),
令則由得
從而在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),，當(dāng)
當(dāng),即時(shí),方程有兩個(gè)不同解.
當(dāng),即時(shí),方程有0個(gè)解
當(dāng),或即或時(shí),方程有唯一解.
綜上,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同解.當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)解.當(dāng)或時(shí),方程有唯一解. 9分.
(3)特別地，當(dāng)時(shí)
由得.
由得
則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
即.又時(shí),          14分.