Question

已知函數(shù)（為實常數(shù)）．
（1）若函數(shù)圖像上動點到定點的距離的最小值為，求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，若不等式在有解，求的取值范圍．

Answer 1

（1）或；（2）；（3）當(dāng)時，；
當(dāng)時，．

解析試題分析：（1）點是函數(shù)上的點，因此我們設(shè)點坐標(biāo)為，這樣可把表示為關(guān)于的函數(shù)，而其最小值為2，利用不等式的知識可求出，即點坐標(biāo)，用基本不等式時注意不等式成立的條件；（2）題目已經(jīng)要求我們用函數(shù)單調(diào)性的定義求解，因此我們直接用定義，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，說明恒成立，變形后可得恒成立，即小于的最小值（如有最小值的話），事實上，故；（3）不等式在有解，則，因此大于或等于的最小值，下面我們要求的最小值，而，可以看作是關(guān)于的二次函數(shù)，用換元法變?yōu)榍蠖�次函�?shù)在給定區(qū)間上的最小值，注意分類討論，分類的依據(jù)是二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系．
試題解析：（1）設(shè)，則，
                  （1分）
，               （1分）
當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得．     （1分）
所以，或．                   （1分）
（只得到一個解，本小題得3分）
（2）由題意，任取、，且，
則， （2分）
因為，，所以，即，       （2分）
由，得，所以．
所以，的取值范圍是．                       （2分）
（3）由，得，
因為，所以，                  （2分）
令，則，所以，令，，
于是，要使原不等式在有解，當(dāng)且僅當(dāng)（）． （1分）
因為，所以