Question

已知在x軸上有一點(diǎn)列：P₁（x₁，0），P₂（x₂，0），P₃（x₃，0），…，P_n（x_n，0），…，點(diǎn)P_n+2分有向線段

PnPn+1

所成的比為λ，其中n∈N^*，λ＞0為常數(shù)，x₁=1，x₂=2．
（1）設(shè)a_n=x_n+1-x_n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)f（λ）=

lim

n→∞

xn，當(dāng)λ變化時(shí)，求f（λ）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用向量的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式寫出x_n+2與x_n+1，x_n之間的關(guān)系式；再由a_n=x_n+1-x_n，求出a₁，再推出a_n和a_n+1的關(guān)系，說(shuō)明是等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由于x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1所以|-

1

1+λ

|＜1，利用等比數(shù)列的前n和的極限公式即可求得

lim

n→∞

x n，最后利用分離常數(shù)的方法即可求得f（x）的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P_n+2分有向線段

PnPn+1

所成的比為λ，
所以

PnPn+2

=λ

Pn+2Pn+1

，即由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x_n+2=

xn+λxn+1

1+λ

．
∵a₁=x₂-x₁=1，
因?yàn)閍_n+1=x_n+2-x_n+1=

xn+λxn+1

1+λ

-x_n+1
=-

1

1+λ

（x_n+1-x_n）=-

1

1+λ

a_n，
∴

an+1

an

=-

1

1+λ

，即{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，-

1

1+λ

為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=（-

1

1+λ

）^n-1．
（2）∵x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1，
λ＞0，∴|-

1

1+λ

|＜1，

lim

n→∞

x n=1+

1

1+ 1 1+λ

=

2λ+3

λ+2

（12分）
∴當(dāng)λ＞0時(shí)，f（λ）=

2(λ+2)-1

λ+2

=2-

1

λ+2

∈(

3

2

，2)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段的定比分點(diǎn)，數(shù)列遞推式，數(shù)列的極限，考查邏輯思維能力，是中檔題．