Question

已知在x軸上有一點(diǎn)列：P₁（x₁，0），P₂（x₂，0），P₃（x₃，0），…，P_n（x_n，0），…，點(diǎn)P_n+2分有向線(xiàn)段所成的比為λ，其中n∈N^*，λ＞0為常數(shù)，x₁=1，x₂=2．
（1）設(shè)a_n=x_n+1-x_n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)f（λ）=，當(dāng)λ變化時(shí)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用向量的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式寫(xiě)出x_n+2與x_n+1，x_n之間的關(guān)系式；再由a_n=x_n+1-x_n，求出a₁，再推出a_n和a_n+1的關(guān)系，說(shuō)明是等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由于x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1所以|-|＜1，利用等比數(shù)列的前n和的極限公式即可求得，最后利用分離常數(shù)的方法即可求得f（x）的取值范圍．
解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P_n+2分有向線(xiàn)段 所成的比為λ，
所以 ，即由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x_n+2=．
∵a₁=x₂-x₁=1，
因?yàn)閍_n+1=x_n+2-x_n+1=-x_n+1
=-（x_n+1-x_n）=-a_n，
∴=-，即{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=（-）^n-1．
（2）∵x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1，
λ＞0，∴|-|＜1，
（12分）
∴當(dāng)λ＞0時(shí)，f（λ）=（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)段的定比分點(diǎn)，數(shù)列遞推式，數(shù)列的極限，考查邏輯思維能力，是中檔題．