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已知、為橢圓的左、右焦點，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過的直線交橢圓于兩點，則的內切圓的面積是否存在最大值？
若存在其最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.
（1）；（2）當不存在時圓面積最大， ，此時直線方程為.

試題分析：本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面內兩點間的距離公式、三角形面積公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質以及數形結合的數學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先設出橢圓的標準方程，利用橢圓的定義列出，解出和的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，假設直線的斜率存在，設出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消參得出關于的方程，得到兩根之和、兩根之積，求出的面積，面積之和內切圓的半徑有關，所以當的面積最大時，內切圓面積最大，換一種形式求的面積，利用換元法和配方法求出面積的最大值，而直線的斜率不存在時，易求出和圓面積，經過比較，當不存在時圓面積最大.
試題解析：（Ⅰ）由已知，可設橢圓的方程為，
因為，所以，，
所以，橢圓的方程為
（也可用待定系數法，或用）      4分
（2）當直線斜率存在時，設直線：，由得，
設，，     6分
所以，
設內切圓半徑為，因為的周長為（定值），，所以當的面積最大時，內切圓面積最大，又，    8分
令，則，所以    10分
又當不存在時，，此時，
故當不存在時圓面積最大， ，此時直線方程為.      12分
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的頂在坐標原點，焦點到直線的距離是
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線與拋物線交于兩點，設線段的中垂線與軸交于點 ，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為、，為原點.
（1）如圖1，點為橢圓上的一點，是的中點，且，求點到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點，若在橢圓上存在點，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（13分）如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓。

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程 量最小，則應如何設計拱高h和拱寬？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高。）
（3）為了使隧道內部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

某校同學設計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中、是過拋物線焦點的兩條弦，且其焦點，，點為軸上一點，記，其中為銳角．

(1)求拋物線方程；
(2)求證：．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,已知橢圓的長軸為AB,過點B的直線與
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點,且

（1）求此橢圓的標準方程;
（2）設P是此橢圓上異于A,B的任意一點, 軸,H為垂足,延長HP到點Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長交直線于點,為的中點，判定直線與以為直徑的圓O位置關系。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若拋物線與直線交于、兩點，求證：.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線的左焦點為F1，左、右頂點分別為A1、A2，P為雙曲線上任意一點，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩個圓的位置關系為（   ）
A．相交B．相切C．相離D．以上情況都有可能

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線的左右焦點分別為，為雙曲線的中心，是雙曲線右支上的點，的內切圓的圓心為，且圓與軸相切于點，過作直線的垂線，垂足為，若為雙曲線的離心率，則(   )
A．B．
C．D．與關系不確定

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