Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，證明（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再利用零點(diǎn)存在定理證明結(jié)果；

（2）先對(duì)要證不等式兩邊取對(duì)數(shù)，結(jié)合極值點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化為證，再根據(jù)極值點(diǎn)條件解得，代入再次轉(zhuǎn)化所求不等式為，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定其最值，最后根據(jù)最值證不等式.

證明：（1）的定義域?yàn)?/span>，由，可得．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以．

取，則，記，

所以在上單調(diào)遞減，．

所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（2）依題意，得，則．

因?yàn)?/span>有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以．

因?yàn)橐�證明，所以只需證明，即，所以只需證明．

又因?yàn)?/span>，所以只需證明①．

由可得，則②．

由①②可知，即．

設(shè)，則上式等價(jià)于．

令，則．

因?yàn)?/span>，所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，即，所以原不等式成立，即．