已知向量
a
=(sin2
π
6
x，cos2
π
6
x)，
b
=(sin2
π
6
x，-cos2
π
6
x)，g(x)=
a
•
b

（1）求函數(shù)g（x）的解析式．
（2）若集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，試判斷g（x）與集合M的關(guān)系．
（3）記A={x|a≥2g（x）}，B={x|y=
3x2-x-2
(a-5)x2+2(a-5)x-4
}，若（?RA）∪（?RB）=∅，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）直接代入向量的數(shù)量積計算公式整理后即可求出函數(shù)g（x）的解析式；
（2）直接計算g（x）+g（x+2）看是否符合集合M中的元素所滿足的條件即可得出結(jié)論；
（3）直接利用（CRA）∪（CRB）=∅，得到A=B=R；再分別利用A=R以及B=R求出對應(yīng)的實數(shù)a的取值范圍，綜合即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵向量
a
=(sin2
π
6
x，cos2
π
6
x)，
b
=(sin2
π
6
x，-cos2
π
6
x)，g(x)=
a
•
b

∴g(x)=sin4
π
6
x-cos4
π
6
x
=(sin2
π
6
x-cos2
π
6
x)(sin2
π
6
x+cos2
π
6
x)=-cos
π
3
x，（4分）
（2）∵g(x)+g(x+2)=-[cos
πx
3
+cos(
πx
3
+
2π
3
)]
=-(cos
πx
3
+cos
πx
3
cos
2π
3
-sin
πx
3
sin
2π
3
)
=-(
1
2
cos
πx
3
-
3
2
sin
πx
3
)
=-cos
π
3
(x+1)=g(x+1)，
∴g（x）∈M．（8分）
（3）∵（CRA）∪（CRB）=∅，
∴A=B=R．
由A=R?a≥2    ①
由B=R?1＜a≤5    ②．
由①，②得a∈[2，5]（14分）
點評：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算以及元素與集合關(guān)系的判斷．元素與集合之間的關(guān)系命題方向有二，一是驗證元素是否是集合的元素；二是知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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