Question

如圖，在橢圓C中，點(diǎn)F₁是左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b）分別為右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)O為橢圓的中心．又點(diǎn)P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點(diǎn)H是點(diǎn)P在x軸上的射影．
（1）求證：當(dāng)a取定值時(shí)，點(diǎn)H必為定點(diǎn)；
（2）如果點(diǎn)H落在左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)之間，試求橢圓離心率的取值范圍；
（3）如果以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切，且凸四邊形ABPH的面積等于，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，OP∥AB，得，代入橢圓方程，得，由此能夠證明當(dāng)a取定值時(shí)，點(diǎn)H必為定點(diǎn)．
（2）由點(diǎn)H落在左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)之間，知只有，且，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
（3）以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切等價(jià)于點(diǎn)O到直線AB的距離等于．由條件設(shè)直線，點(diǎn)O到直線AB的距離，又，所以，再由，
能夠得到所求橢圓方程．
解答：解：（1）由，OP∥AB，得，
代入橢圓方程，得，
∴或，
∵PH⊥x軸，∴或，
∵a為定值，∴H為定點(diǎn)；（4分）
（2）∵點(diǎn)H落在左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)之間，
∴只有，且，
可解得；（4分）
（3）以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切等價(jià)于點(diǎn)O到直線AB的距離等于．
由條件設(shè)直線，
則點(diǎn)O到直線AB的距離，又，
∴得①
又由，
得ab=4．②由①②解得，，
所以所求橢圓方程為：．（6分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查定點(diǎn)的證明、離心率取值范圍的確定和橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．