【題目】如圖,在三棱柱中,平面,,點(diǎn)分別在棱和棱上,且為棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
以為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)?/span>軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)計(jì)算出向量和的坐標(biāo),得出,即可證明出;
(Ⅱ)可知平面的一個(gè)法向量為,計(jì)算出平面的一個(gè)法向量為,利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦值,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)果;
(Ⅲ)利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
依題意,以為原點(diǎn),分別以、、的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),
可得、、、、
、、、、.
(Ⅰ)依題意,,,
從而,所以;
(Ⅱ)依題意,是平面的一個(gè)法向量,
,.
設(shè)為平面的法向量,
則,即,
不妨設(shè),可得.
,
.
所以,二面角的正弦值為;
(Ⅲ)依題意,.
由(Ⅱ)知為平面的一個(gè)法向量,于是.
所以,直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】現(xiàn)有邊長均為1的正方形正五邊形正六邊形及半徑為1的圓各一個(gè),在水平桌面上無滑動(dòng)滾動(dòng)一周,它們的中心的運(yùn)動(dòng)軌跡長分別為,,,,則( )
A.B.C.D.
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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在圓上,且圓上的所有點(diǎn)均在橢圓外,若的最小值為,且橢圓的長軸長恰與圓的直徑長相等,則下列說法正確的是( )
A.橢圓的焦距為B.橢圓的短軸長為
C.的最小值為D.過點(diǎn)的圓的切線斜率為
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【題目】隨著2022年北京冬奧會(huì)的臨近,中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展,冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)快速上升,冰雪運(yùn)動(dòng)市場需求得到釋放.如圖是2012-2018年中國雪場滑雪人數(shù)(單位:萬人)與同比增長情況統(tǒng)計(jì)圖則下面結(jié)論中正確的是( ).
A.2012-2018年,中國雪場滑雪人數(shù)逐年增加;
B.2013-2015年,中國雪場滑雪人數(shù)和同比增長率均逐年增加;
C.中國雪場2015年比2014年增加的滑雪人數(shù)和2018年比2017年增加的滑雪人數(shù)均為220萬人,因此這兩年的同比增長率均有提高;
D.2016-2018年,中國雪場滑雪人數(shù)的增長率約為23.4%.
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【題目】2020年春節(jié)突如其來的新型冠狀病毒肺炎在湖北爆發(fā),一方有難八方支援,全國各地的白衣天使走上戰(zhàn)場的第一線,某醫(yī)院抽調(diào)甲、乙兩名醫(yī)生,抽調(diào)、、三名護(hù)士支援武漢第一醫(yī)院與第二醫(yī)院,參加武漢疫情狙擊戰(zhàn)其中選一名護(hù)士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院,其它都在第二醫(yī)院工作,則醫(yī)生甲和護(hù)士被選在第一醫(yī)院工作的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi),AF2⊥F1F2,直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B.
(1)求△AF1F2的周長;
(2)在x軸上任取一點(diǎn)P,直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q,求的最小值;
(3)設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上,記△OAB與△MAB的面積分別為S1,S2,若S2=3S1,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,其中.
(Ⅰ)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線與曲線相交于,兩點(diǎn).若點(diǎn)恰為線段的三等分點(diǎn),求的值.
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【題目】已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù),且.當(dāng)時(shí),,若方程有300個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A.B.C.D.
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【題目】某校高二年級進(jìn)行選課走班,已知語文、數(shù)學(xué)、英語是必選學(xué)科,另外需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科中任選3門進(jìn)行學(xué)習(xí). 現(xiàn)有甲、乙、丙三人,若同學(xué)甲必選物理,則下列結(jié)論正確的是( )
A.甲的不同的選法種數(shù)為10
B.甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全選化學(xué)是對立事件
C.乙同學(xué)在選物理的條件下選化學(xué)的概率是
D.乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是
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