Question

已知定點(diǎn)，，動點(diǎn)到定點(diǎn)距離與到定點(diǎn)的距離的比值是.
（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.
①若是圓上任意一點(diǎn)，過作曲線的切線，切點(diǎn)是，求的取值范圍；
②已知，是曲線上不同的兩點(diǎn)，對于定點(diǎn)，有.試問無論，兩點(diǎn)的位置怎樣，直線能恒和一個(gè)定圓相切嗎？若能，求出這個(gè)定圓的方程；若不能，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ），
方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓.
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線的方程是，曲線表示圓，圓心是，半徑是.
①.
②動直線與定圓相切.

試題分析：（Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，得，

整理得: .
，
當(dāng)時(shí)，則方程可化為：，故方程表示的曲線是線段的垂直平分線；
當(dāng)時(shí)，則方程可化為，
即方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓.          5分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線的方程是，
故曲線表示圓，圓心是，半徑是.
①由，及有：
兩圓內(nèi)含，且圓在圓內(nèi)部.如圖所示，由有: ,故求的取值范圍就是求的取值范圍.而是定點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，故過作圓的直徑，得，，故，.          9分
②設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，，
則由面積相等得到，且圓的半徑. 
即于是頂點(diǎn) 到動直線的距離為定值，
即動直線與定圓相切.
點(diǎn)評：難題，本題確定軌跡方程，利用了“直接法”，對于參數(shù)的討論，易出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象。本題確定點(diǎn)到直線的距離，轉(zhuǎn)化成面積計(jì)算，不易想到。