Question

【題目】設，若數列滿足：對所有，，且當時，，則稱為“數列”，設R，函數，數列滿足，（）.

（1）若，而是數列，求的值；

（2）設，證明：存在，使得是數列，但對任意，都不是數列；

（3）設，證明：對任意，都存在，使得是數列.

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明；(3)見證明

【解析】

（1），，分兩種情況討論得到.(2) 先證明當，只需，即滿足，且當，，所以是數列，，所以不是數列；再證明當，只需，即滿足，且當，，所以是數列，，所以不是數列.(3)通過歸納得到：當m為奇數，在，有解，存在；

當m為偶數，在，有解，存在.再結合函數映射性質可知，當時，，所以對任意，都存在，使得是數列.

（1），，當，，；

當，，，不符；綜上所述，.

（2）當，，，，，…，既不是數列，也不是數列；

當，，，，，…，既不是數列，也不是數列；

當，，，，，…，既不是數列，也不是數列；

當，，，，，，…，只需，

即滿足，且當，，∴是數列，，∴不是數列；

當，，，，，，…，只需，

即滿足，且當，，∴是數列，，∴不是數列；

綜上，存在，使得是數列，但對任意，都不是數列.

（3），當，有解，存在；

，當，有解，存在；

，當，有解，存在；

，當，有解，存在；

……，

當m為奇數，在，有解，存在；

當m為偶數，在，有解，存在；

結合函數映射性質可知，當時，，

∴對任意，都存在，使得是數列.