(2010•廣東模擬)已知等比數(shù)列{xn}的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù),數(shù)列{yn}滿足
ynlogaxn
=2
(a>0,且a≠1),設(shè)y3=18,y6=12.
(1)數(shù)列{yn}的前多少項(xiàng)和最大,最大值是多少?
(2)試判斷是否存在自然數(shù)M,使得n>M時(shí),xn>1恒成立,若存在,求出最小的自然數(shù)M,若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)由數(shù)列{yn}滿足
yn
logaxn
=2
(a>0,且a≠1),知yn=2logaxn,yn+1=2logaxn+1,則yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga
xn+1
xn
).由{xn}為等比數(shù)列,知{yn}為等差數(shù)列.由y3=18,y6=12,得Sn=22n+
n(n-1)
2
•(-2)=-n2+23n.?dāng)?shù)列{yn}的前多少項(xiàng)和最大和相應(yīng)的最大值是多少.
(2)由yn=22+(n-1)(-2)=2logaxn,知xn=a12-n.又xn=a12-n>1,由此能夠?qū)С霎?dāng)0<a<1時(shí),存在M=12,當(dāng)n>M時(shí),xn>1恒成立.
解答:解:(1)∵數(shù)列{yn}滿足
yn
logaxn
=2
(a>0,且a≠1),
∴yn=2logaxn,yn+1=2logaxn+1
則yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga
xn+1
xn
).
∵{xn}為等比數(shù)列,
xn+1
xn
為定值.
∴{yn}為等差數(shù)列.
∵y3=18,y6=12,
∴y6-y3=3d=12-18,
∴d=-2,y1=y3-2d=22.
∴Sn=22n+
n(n-1)
2
•(-2)=-n2+23n.
∴當(dāng)n=11或n=12時(shí),Sn取得最大值,且最大值為132.
(2)∵yn=22+(n-1)(-2)=2logaxn
∴xn=a12-n.又xn=a12-n>1,
當(dāng)a>1時(shí),12-n>0,n<12;
當(dāng)0<a<1時(shí),12-n<0,n>12.
綜上所述,當(dāng)0<a<1時(shí),存在最小的自然數(shù)M=12,使得當(dāng)n>M時(shí),xn>1恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•廣東模擬)函數(shù)f(x)=cos(-
x
2
)+sin(π-
x
2
).x∈R
(1)求f(x)的周期;
(2)求f(x)在[0,π)上的減區(qū)間;
(3)若f(a)=
2
10
5
,a∈(0,
π
2
),求tan(2a+
π
4
)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•廣東模擬)設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面,對(duì)下列四種情形:
①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”為真命題的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•廣東模擬)函數(shù)y=e2x圖象上的點(diǎn)到直線2x-4y-4=0距離的最小值是
5
5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•廣東模擬)如果(3x2-
2x3
)n
的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng),則正整數(shù)n的最小值為
5
5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•廣東模擬)不等式1<|x+2|<5的解集是(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案