Question

（2010•廣東模擬）函數(shù)f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）．x∈R
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）在[0，π）上的減區(qū)間；
（3）若f（a）=

2 10

5

，a∈（0，

π

2

），求tan（2a+

π

4

）的值．

Answer 1

分析：（1）由誘導(dǎo)公式可得f（x）=cos

x

2

+sin

x

2

，由和差角公式，可得f（x）=sin（

x

2

+

π

4

），進(jìn)而求出f（x）的周期；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，及x∈[0，π），可求出f（x）在[0，π）上的減區(qū)間；
（3）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，結(jié)合f（a）=

2 10

5

，a∈（0，

π

2

），可求出a的各三角函數(shù)值，進(jìn)而根據(jù)倍角及和角正切公式得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）=cos

x

2

+sin

x

2

=

2

sin（

x

2

+

π

4

）
∴f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π                      …（4分）
（2）由

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得

π

2

+4kπ≤x≤

5π

2

+4kπ，k∈Z，
又x∈[0，π），
∴

π

2

≤x＜π
∴f（x）在[0，π）上的減區(qū)間是[

π

2

，π）     …（8分）
（3）由f（a）=

2 10

5

，得cos

a

2

+sin

a

2

=

2 10

5

，
∴1+sina=

8

5

，
∴sina=

3

5

又a∈（0，

π

2

），
∴cosa=

4

5

，
∴tana=

3

4

，
∴tan2a=

24

7

，
∴tan（2a+

π

4

）=-

31

17

．      …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦函數(shù)的單調(diào)性，誘導(dǎo)公式的作用，兩角和的正切公式，二倍角公式，三角函數(shù)周期性及其求法，是三角函數(shù)問題較為綜合的應(yīng)用，熟練掌握正弦型函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)公式，是解答查的關(guān)鍵．