【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明:當20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達式;
(2)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=xv(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時).

【答案】
(1)解:由題意:當0≤x≤20時,v(x)=60;當20<x≤200時,設v(x)=ax+b

再由已知得 ,解得

故函數(shù)v(x)的表達式為


(2)解:依題并由(1)可得

當0≤x<20時,f(x)為增函數(shù),故當x=20時,其最大值為60×20=1200

當20≤x≤200時,

當且僅當x=200﹣x,即x=100時,等號成立.

所以,當x=100時,f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值

綜上所述,當x=100時,f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值為 ,

即當車流密度為100輛/千米時,車流量可以達到最大值,最大值約為3333輛/小時.


【解析】(1)根據(jù)題意,函數(shù)v(x)表達式為分段函數(shù)的形式,關鍵在于求函數(shù)v(x)在20≤x≤200時的表達式,根據(jù)一次函數(shù)表達式的形式,用待定系數(shù)法可求得;(2)先在區(qū)間(0,20]上,函數(shù)f(x)為增函數(shù),得最大值為f(20)=1200,然后在區(qū)間[20,200]上用基本不等式求出函數(shù)f(x)的最大值,用基本不等式取等號的條件求出相應的x值,兩個區(qū)間內較大的最大值即為函數(shù)在區(qū)間(0,200]上的最大值.

練習冊系列答案
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【題目】從某山區(qū)養(yǎng)殖場散養(yǎng)的3500頭豬中隨機抽取5頭,測量豬的體長x(cm)和體重y(kg),得如下測量數(shù)據(jù):

豬編號

1

2

3

4

5

x

169

181

166

185

180

y

95

100

97

103

101


(1)當且僅當x,y滿足:x≥180且y≥100時,該豬為優(yōu)等品,用上述樣本數(shù)據(jù)估計山區(qū)養(yǎng)殖場散養(yǎng)的3500頭豬中優(yōu)等品的數(shù)量;
(2)從抽取的上述5頭豬中,隨機抽取2頭中優(yōu)等品數(shù)x的分布列及其數(shù)學期望.

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【題目】已知拋物線的頂點在原點,過點A(-4,4)且焦點在x軸.

(1)求拋物線方程;

(2)直線l過定點B(-1,0)與該拋物線相交所得弦長為8,求直線l的方程.

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【題目】設函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),且A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示.

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(2)設θ為銳角,且f(θ)=﹣ ,求f(θ﹣ )的值.

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【題目】若數(shù)列{an}中的項都滿足a2n1=a2n<a2n+1(n∈N*),則稱{an}為“階梯數(shù)列”.
(1)設數(shù)列{bn}是“階梯數(shù)列”,且b1=1,b2n+1=9b2n1(n∈N*),求b2016
(2)設數(shù)列{cn}是“階梯數(shù)列”,其前n項和為Sn , 求證:{Sn}中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列,但不存在連續(xù)四項成等差數(shù)列;
(3)設數(shù)列{dn}是“階梯數(shù)列”,且d1=1,d2n+1=d2n1+2(n∈N*),記數(shù)列{ }的前n項和為Tn , 問是否存在實數(shù)t,使得(t﹣Tn)(t+ )<0對任意的n∈N*恒成立?若存在,請求出實數(shù)t的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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【題目】三棱錐D﹣ABC及其正視圖和側視圖如右圖所示,且頂點A,B,C,D均在球O的表面上,則球O的表面積為(
A.32π
B.36π
C.128π
D.144π

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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,∠ABC=120°,AD=CD= ,直線PC與平面ABCD所成角的正切為
(1)設E為直線PC上任意一點,求證:AE⊥BD;
(2)求二面角B﹣PC﹣A的正弦值.

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【題目】點P在雙曲線 =1(a>0,b>0)的右支上,其左、右焦點分別為F1 , F2 , 直線PF1與以坐標原點O為圓心、a為半徑的圓相切于點A,線段PF1的垂直平分線恰好過點F2 , 則該雙曲線的漸近線的斜率為

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【題目】設函數(shù)

(1)關于的不等式對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(2)解關于的不等式;

(3)函數(shù)在區(qū)間上有零點,求實數(shù)的取值范圍.

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