Question

【題目】對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對一切，都成立，則稱數(shù)列為等差數(shù)列．

（1）若數(shù)列為2-等差數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為2，-1，4，-3，求的值；

（2）若既是2-等差數(shù)列，又是3-等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系寫出第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，即可得到答案；

（2）根據(jù)既是2-等差數(shù)列，得，則和均成等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列公差分別為；因?yàn)?/span>是3-等差數(shù)列，所以，則成等差數(shù)列，設(shè)公差為；取數(shù)列中的特殊項(xiàng)可得，并設(shè)，從而得到，再根據(jù)的關(guān)系，將等差數(shù)列的通項(xiàng)寫成，即可證得結(jié)論.

（1）∵，，，，，

∴.

（2）若既是2-等差數(shù)列，即，則和均成等差數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列公差分別為，

∵是3-等差數(shù)列，∴，則成等差數(shù)列，設(shè)公差為，

既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，

∴，

既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，

∴.

設(shè)，則，

，

又，，

∴，

，

綜上所得，

為等差數(shù)列.