Question

【題目】若無窮數(shù)列滿足：是正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則稱是“—數(shù)列”.

（1）若是“—數(shù)列”且，寫出的所有可能值；

（2）設(shè)是“—數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)單調(diào)遞減；是等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)單調(diào)遞增；

（3）若是“—數(shù)列”且是周期數(shù)列（即存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有），求集合的元素個(gè)數(shù)的所有可能值的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）-2，0，2，8（2）證明見解析（3）當(dāng)時(shí)，有32種；當(dāng)時(shí)，有31種.

【解析】

(1)根據(jù)“—數(shù)列”的定義逐項(xiàng)分析即可.

(2)分別根據(jù)等差等比數(shù)列的定義,分別證明對(duì)應(yīng)的必要性和充分性即可.

(3)分別證明是數(shù)列中的最大項(xiàng)與當(dāng)是奇數(shù)時(shí),是的奇數(shù)倍；當(dāng)是偶數(shù)時(shí),是的偶數(shù)倍再根據(jù)周期的性質(zhì)證明即可.

（1）解：由題,所有可能的情況有,,.

故的所有可能值為 -2,0,2,8.

（2）證明：因?yàn)?/span>,所以或.

當(dāng)是等差數(shù)列時(shí),假設(shè),則,此時(shí),,而,矛盾！所以.于是公差,所以單調(diào)遞減.

當(dāng)單調(diào)遞減時(shí),對(duì)任意,,又,所以,從而是等差數(shù)列.

當(dāng)是等比數(shù)列時(shí),,所以,于是公比.又,所以單調(diào)遞增.

當(dāng)單調(diào)遞增時(shí),對(duì)任意,.又,所以,即.因?yàn)?/span>,所以是等比數(shù)列.

（3）解：先證明是數(shù)列中的最大項(xiàng).

事實(shí)上,如果是第一個(gè)大于的項(xiàng)的腳標(biāo),則由

知,是的倍數(shù).假設(shè),,…,都是的倍數(shù),則由

知,也是的倍數(shù).所以由歸納法知,對(duì)任意,都是的倍數(shù),但不是的倍數(shù),這與是周期數(shù)列矛盾！

所以是數(shù)列中的最大項(xiàng),從而當(dāng)時(shí),.

再證明當(dāng)是奇數(shù)時(shí),是的奇數(shù)倍；當(dāng)是偶數(shù)時(shí),是的偶數(shù)倍.

事實(shí)上,當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.假設(shè)時(shí)成立,當(dāng)時(shí),由知,結(jié)論也成立.

設(shè)的最小正周期是,因?yàn)?/span>,所以是偶數(shù).

反過來,當(dāng)是偶數(shù)時(shí),我們證明存在一個(gè)以為最小正周期的“一數(shù)列”.

事實(shí)上,令,,…,,,,…,,,之后再以為周期循環(huán)即可.

當(dāng)以為最小正周期時(shí),集合的元素個(gè)數(shù)為,其中表示不超過的最大整數(shù).因此所求即為,,…,中不同項(xiàng)的個(gè)數(shù).

當(dāng)時(shí),,所以從到0中的所有整數(shù)值都能取到,有32種.

當(dāng)時(shí),,所以,,…,兩兩不同,有31種.