Question

（理）設(shè)橢圓

x2

m+1

+y2=1的兩個焦點是F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），且橢圓上存在點M，使

MF1

•

MF2

=0．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若直線l：y=x+2與橢圓存在一個公共點E，使得|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求此最小值及此時橢圓的方程；
（3）是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，與條件（Ⅱ）下的橢圓交于A、B兩點，使得經(jīng)過AB的中點Q及N（0，-1）的直線NQ滿足

NQ

•

AB

=0？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

MF1

•

MF2

=0可得|MF₁|²+|MF₂|²=4m，再結(jié)合基本不等式列不等關(guān)系，即可解得實數(shù)m的取值范圍；
（2）將直線的方程與橢圓C的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)△≥0得m的取值范圍，最后根據(jù)函數(shù)的值域求出|EF₁|+|EF₂|取得最小值及此時橢圓的方程即可；
（3）設(shè)兩點設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中點Q（x，y），直線l的方程為y=kx+m，先將A，B兩點的坐標代入橢圓方程，兩式相減得Q（x，y）的軌跡方程，求得點Q的坐標，最后根據(jù)

NQ

•

AB

=0即可求出k的取值范圍．

解答：解（1）依題意：F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，
∴|OM|=

1

2

|F1F2|=(m+1)-1=m≥1．
（2）將y=x+2代入x²+（m+1）y²-m-1=0中
得：（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0，
∴△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，又m≥1，
∴m≥2．
∴m=2時|EF1|+|EF2|=2

m+1

取最小值2

3

．此時橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（3）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線l的方程為y=kx+m，
代入橢圓的方程：x²+3y²-3=0中得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
∴△=36k²m²+12（1-m²）（3k²+1）=12（3k²+1-m²）＞0，
即3k²+1-m²＞0①
且

x1+x2

2

=-

3km

3k2+1

，

y1+y2

2

=k•

x1+x2

2

+m=

m

3k2+1

．
即Q(-

3km

3k2+1

，

m

3k2+1

)．
又

NQ

•

AB

=0，
∴kNQ=-

1

k

，直線NQ的方程為y=-

1

k

x-1．
∴

m

3k2+1

=(-

1

k

)(-

3km

3k2+1

)-1，化簡得：m=

3k2+1

2

②
由①②得：k²＜1，
∴存在適合條件的直線l，其斜率k的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題主要考查了橢圓的定義和標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題、平面向量數(shù)量積的運算等．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．