Question

（理）設橢圓

x2

m+1

+y2=1的兩個焦點是F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），且橢圓上存在點M，使

MF1

•

MF2

=0．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若直線l：y=x+2與橢圓存在一個公共點E，使得|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求此最小值及此時橢圓的方程；
（3）是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，與條件（Ⅱ）下的橢圓交于A、B兩點，使得經(jīng)過AB的中點Q及N（0，-1）的直線NQ滿足

NQ

•

AB

=0？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解（1）依題意：F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，
∴|OM|=

1

2

|F1F2|=(m+1)-1=m≥1．
（2）將y=x+2代入x²+（m+1）y²-m-1=0中
得：（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0，
∴△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，又m≥1，
∴m≥2．
∴m=2時|EF1|+|EF2|=2

m+1

取最小值2

3

．此時橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（3）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線l的方程為y=kx+m，
代入橢圓的方程：x²+3y²-3=0中得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
∴△=36k²m²+12（1-m²）（3k²+1）=12（3k²+1-m²）＞0，
即3k²+1-m²＞0①
且

x1+x2

2

=-

3km

3k2+1

，

y1+y2

2

=k•

x1+x2

2

+m=

m

3k2+1

．
即Q(-

3km

3k2+1

，

m

3k2+1

)．
又

NQ

•

AB

=0，
∴kNQ=-

1

k

，直線NQ的方程為y=-

1

k

x-1．
∴

m

3k2+1

=(-

1

k

)(-

3km

3k2+1

)-1，化簡得：m=

3k2+1

2

②
由①②得：k²＜1，
∴存在適合條件的直線l，其斜率k的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）．